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Non-life insurance pricing with generalized linear models / by Esbjørn Ohlsson, Bjørn Johansson.

By: Ohlsson, Esbjørn.
Contributor(s): Johansson, Bjørn, 1947.
Material type: materialTypeLabelBookSeries: EAA lecture notes.Publisher: Heidelberg ; New York : Springer, 2010Description: xiii, 174 p. : il. ; 24 cm.ISBN: 9783642107900 (pbk. : alk. paper); 3642107907 (pbk. : alk. paper); 9783642107917 (eisbn); 3642107915 (eisbn).Subject(s): SEGUROS -- PRECIOS | SEGUROS -- MATEMÁTICAS | MODELO LINEAR (ESTADÍSTICA)DDC classification: 368.011
Contents:
1 Non-Life Insurance Pricing ....................... 1 1.1 Rating Factors and Key Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Basic Model Assumptions . . . ................... 6 1.2.1 Means and Variances . ................... 8 1.3 Multiplicative Models ........................ 9 1.3.1 The Method of Marginal Totals . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2 One Factor at a Time? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2 The Basics of Pricing with GLMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1 Exponential Dispersion Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.1 Probability Distribution of the Claim Frequency . . . . . . 18 2.1.2 A Model for Claim Severity . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.3 Cumulant-Generating Function, Expectation and Variance . 21 2.1.4 Tweedie Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 The Link Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.2.1 Canonical Link* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.3 Parameter Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 The Multiplicative Poisson Model . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 General Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3.3 Multiplicative Gamma Model for Claim Severity . . . . . . 33 2.3.4 Modeling the Pure Premium . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.4 Case Study: Motorcycle Insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3 GLM Model Building . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1 Hypothesis Testing and Estimation of φ . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1 Pearson’s Chi-Square and the Estimation of φ . . . . . . . 42 3.1.2 Testing Hierarchical Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Confidence Intervals Based on Fisher Information . . . . . . . . . 44 3.2.1 Fisher Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2.2 Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.3 Numerical Equation Solving* . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.2.4 Do the ML Equations Really Give a Maximum?* . . . . . 50 3.2.5 Asymptotic Normality of the ML Estimators* . . . . . . . 51 3.3 Residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.4 Overdispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5 Estimation Without Distributional Assumptions . . . . . . . . . . 58 3.5.1 Estimating Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5.2 The Overdispersed Poisson Model . . . . . . . . . . . . . 60 3.5.3 Defining Deviances from Variance Functions* . . . . . . . 60 3.6 Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6.1 Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61 3.6.2 Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.6.3 Offsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6.4 Polynomial Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6.5 Large Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 3.6.6 Deductibles* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 3.6.7 Determining the Premium Level . . . . . . . . . . . . . . . 65 3.7 Case Study: Model Selection in MC Insurance . . . . . . . . . . . 66 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4 Multi-Level Factors and Credibility Theory . . . . . . . . . . . . . . 71 4.1 The Bühlmann-Straub Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.1.1 Estimation of Variance Parameters . . . . . . . . . . . . . 78 4.1.2 Comparison with Other Notation* . . . . . . . . . . . . . . 81 4.2 Credibility Estimators in Multiplicative Models . . . . . . . . . . 81 4.2.1 Estimation of Variance Parameters . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.2 The Backfitting Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 4.2.3 Application to Car Model Classification . . . . . . . . . . 86 4.2.4 More than One MLF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87 4.3 Exact Credibility* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 4.4 Hierarchical Credibility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 4.4.1 Estimation of Variance Parameters . . . . . . . . . . . . . 94 4.4.2 Car Model Classification, the Hierarchical Case . . . . . . 95 4.5 Case Study: Bus Insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 5 Generalized Additive Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 5.1 Penalized Deviances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 5.2 Cubic Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104 5.3 Estimation—One Rating Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.1 Normal Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108 5.3.2 Poisson Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 5.3.3 Gamma Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.4 Estimation—Several Rating Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4.1 Normal Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 5.4.2 Poisson Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 5.4.3 Gamma Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.5 Choosing the Smoothing Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 5.6 Interaction Between a Continuous and a Categorical Variable . . . 124 5.7 Bivariate Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 5.7.1 Thin Plate Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126 5.7.2 Estimation with Thin Plate Splines . . . . . . . . . . . . . 127 5.8 Case Study: Trying GAMs in Motor Insurance . . . . . . . . . . . 132 Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 A Some Results from Probability and Statistics . . . . . . . . . . . . . 135 A.1 The Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.2 Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 A.3 The Law of Total Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 A.4 Bayes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 A.5 Unbiased Estimation of Weighted Variances . . . . . . . . . . . . 138 B Some Results on Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 B.1 Cubic Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 B.2 B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 B.3 Thin Plate Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152 C Some SAS Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 C.1 Parameter Estimation with Proc Genmod . . . . . . . . . . . . . . 165 C.2 Estimation of and Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 C.3 SAS Syntax for Arbitrary Deviance* . . . . . . . . . . . . . . . . 167 C.4 Backfitting of MLFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 C.5 Fitting GAMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 C.6 Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168 References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171 Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173
Summary: Ajuste del precio de una póliza de seguro no vida implica el análisis estadístico de los datos seguros, teniendo en cuenta diversas propiedades del objeto asegurado y el titular de la póliza. Introducido por actuarios británicos, los modelos lineales generalizados (GLM) tienen por ahora convertido en un enfoque estándar utilizado para la fijación de precios en muchos países. El libro se centra en los métodos basados en GLM que se han encontrado útiles en la práctica actuarial. Teoría básica de GLM en un entorno seguro se presentó, con extensiones útiles que no son de uso común. El libro puede ser utilizado en la educación actuarial diseñado para cumplir con el Plan de Estudios Core Europea y está escrito para estudiantes actuariales, así como los actuarios en ejercicio. Para apoyar a los lectores, que contiene estudios de casos a partir de datos reales de cierta complejidad que están disponibles en la www.
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LIBRO - MATERIAL GENERAL LIBRO - MATERIAL GENERAL Biblioteca Satélite
Fondo general
Colección General 368.011 O379n (Browse shelf) Ej. 1 1 Available 024704
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Incluye bibliografías e indices

1 Non-Life Insurance Pricing ....................... 1
1.1 Rating Factors and Key Ratios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.2 Basic Model Assumptions . . . ................... 6
1.2.1 Means and Variances . ................... 8
1.3 Multiplicative Models ........................ 9
1.3.1 The Method of Marginal Totals . . . . . . . . . . . . . . . 11
1.3.2 One Factor at a Time? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2 The Basics of Pricing with GLMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.1 Exponential Dispersion Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.1.1 Probability Distribution of the Claim Frequency . . . . . . 18
2.1.2 A Model for Claim Severity . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.1.3 Cumulant-Generating Function, Expectation and Variance . 21
2.1.4 Tweedie Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.2 The Link Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
2.2.1 Canonical Link* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.3 Parameter Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.1 The Multiplicative Poisson Model . . . . . . . . . . . . . . 30
2.3.2 General Result . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
2.3.3 Multiplicative Gamma Model for Claim Severity . . . . . . 33
2.3.4 Modeling the Pure Premium . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
2.4 Case Study: Motorcycle Insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
3 GLM Model Building . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1 Hypothesis Testing and Estimation of φ . . . . . . . . . . . . . . . 39
3.1.1 Pearson’s Chi-Square and the Estimation of φ . . . . . . . 42
3.1.2 Testing Hierarchical Models . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
3.2 Confidence Intervals Based on Fisher Information . . . . . . . . . 44
3.2.1 Fisher Information . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3.2.2 Confidence Intervals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.2.3 Numerical Equation Solving* . . . . . . . . . . . . . . . . 49
3.2.4 Do the ML Equations Really Give a Maximum?* . . . . . 50
3.2.5 Asymptotic Normality of the ML Estimators* . . . . . . . 51
3.3 Residuals . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.4 Overdispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.5 Estimation Without Distributional Assumptions . . . . . . . . . . 58
3.5.1 Estimating Equations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.2 The Overdispersed Poisson Model . . . . . . . . . . . . . 60
3.5.3 Defining Deviances from Variance Functions* . . . . . . . 60
3.6 Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6.1 Model Selection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3.6.2 Interaction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.6.3 Offsets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.4 Polynomial Regression . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.5 Large Claims . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
3.6.6 Deductibles* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64
3.6.7 Determining the Premium Level . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.7 Case Study: Model Selection in MC Insurance . . . . . . . . . . . 66
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4 Multi-Level Factors and Credibility Theory . . . . . . . . . . . . . . 71
4.1 The Bühlmann-Straub Model . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
4.1.1 Estimation of Variance Parameters . . . . . . . . . . . . . 78
4.1.2 Comparison with Other Notation* . . . . . . . . . . . . . . 81
4.2 Credibility Estimators in Multiplicative Models . . . . . . . . . . 81
4.2.1 Estimation of Variance Parameters . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.2 The Backfitting Algorithm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
4.2.3 Application to Car Model Classification . . . . . . . . . . 86
4.2.4 More than One MLF . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Exact Credibility* . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Hierarchical Credibility Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
4.4.1 Estimation of Variance Parameters . . . . . . . . . . . . . 94
4.4.2 Car Model Classification, the Hierarchical Case . . . . . . 95
4.5 Case Study: Bus Insurance . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
5 Generalized Additive Models . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
5.1 Penalized Deviances . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
5.2 Cubic Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
5.3 Estimation—One Rating Variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.1 Normal Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 108
5.3.2 Poisson Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
5.3.3 Gamma Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
5.4 Estimation—Several Rating Variables . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.1 Normal Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
5.4.2 Poisson Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
5.4.3 Gamma Case . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 120
5.5 Choosing the Smoothing Parameter . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
5.6 Interaction Between a Continuous and a Categorical Variable . . . 124
5.7 Bivariate Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
5.7.1 Thin Plate Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 126
5.7.2 Estimation with Thin Plate Splines . . . . . . . . . . . . . 127
5.8 Case Study: Trying GAMs in Motor Insurance . . . . . . . . . . . 132
Exercises . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
A Some Results from Probability and Statistics . . . . . . . . . . . . . 135
A.1 The Gamma Function . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.2 Conditional Expectation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
A.3 The Law of Total Probability . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136
A.4 Bayes’ Theorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137
A.5 Unbiased Estimation of Weighted Variances . . . . . . . . . . . . 138
B Some Results on Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.1 Cubic Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139
B.2 B-splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145
B.3 Thin Plate Splines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
C Some SAS Syntax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165
C.1 Parameter Estimation with Proc Genmod . . . . . . . . . . . . . . 165
C.2 Estimation of and Testing . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
C.3 SAS Syntax for Arbitrary Deviance* . . . . . . . . . . . . . . . . 167
C.4 Backfitting of MLFs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C.5 Fitting GAMs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
C.6 Miscellanea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168
References . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171
Index . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173

Ajuste del precio de una póliza de seguro no vida implica el análisis estadístico de los datos seguros, teniendo en cuenta diversas propiedades del objeto asegurado y el titular de la póliza. Introducido por actuarios británicos, los modelos lineales generalizados (GLM) tienen por ahora convertido en un enfoque estándar utilizado para la fijación de precios en muchos países. El libro se centra en los métodos basados en GLM que se han encontrado útiles en la práctica actuarial. Teoría básica de GLM en un entorno seguro se presentó, con extensiones útiles que no son de uso común. El libro puede ser utilizado en la educación actuarial diseñado para cumplir con el Plan de Estudios Core Europea y está escrito para estudiantes actuariales, así como los actuarios en ejercicio. Para apoyar a los lectores, que contiene estudios de casos a partir de datos reales de cierta complejidad que están disponibles en la www.

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